<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 8 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627273-6

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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          Freguesia do 
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<P>
                                I
 Sumrio

Quinta Parte

Captulo 8 -- 
  Multiplicao e fatorao 
  de polinmios 
 1- Multiplicao de 
  polinmios :::::::::::::::: 445 
 2- Observando 
  regularidades: os produtos 
  notveis :::::::::::::::::: 456
 Raxioxine! ao sobre 
  generalizao ::::::::::::: 475
 3- Um pouco de diviso :::: 478
 4- Fatorao dos produtos 
  notveis :::::::::::::::::: 483
 5- Fatorao usando fatores 
  comuns :::::::::::::::::::: 495
 6- Algumas aplicaes da 
  fatorao ::::::::::::::::: 508

Captulo 9 -- Reunindo 
  geometria e lgebra 
 1- "Desenhando" uma 
  equao ::::::::::::::::::: 519
<P>
 2- Resoluo grfica de 
  sistemas de equaes :::::: 529
 Tomando decises em 
  empresas: ao sobre 
  grficos :::::::::::::::::: 540

<191>
<tmat. medida c. 8>
<T+445>
Captulo 8 -- Multiplicao e 
  fatorao de polinmios

<192>
1- Multiplicao de polinmios 

  Voc j viu que com lgebra fazemos generalizaes, encontramos e usamos frmulas, resolvemos equaes e sistemas de equaes. 
  Vamos retomar o estudo da lgebra, explorando o clculo com polinmios. Isso vai ampliar o uso da lgebra. 

Multiplicao de monmio por 
  polinmio 

  As operaes com polinmios tm muitas semelhanas com as operaes dos nmeros naturais. Por isso, vamos comear com uma multiplicao de nmeros naturais: 32"4=128. 
  Costumamos fazer esse clculo automaticamente, sem parar para entend-lo. Observe, porm, que 4 vezes 32  o mesmo que 4 vezes (30+2). Vamos efetuar, ento, 4 vezes (30+2), usando a propriedade distributiva: 
 1) multiplicamos 4 por 2; 
 2) multiplicamos 4 por 30; 
 3) somamos os resultados. 
  Nessa multiplicao, distribumos o fator 4 pelas parcelas 30 e 2, isto , utilizamos a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio. Veja esta outra forma de indicar 4'32: 
4'32=4'(30+2)=4'
 '30+4'2=120+8=128. 
  A multiplicao de um monmio por um polinmio  feita do mesmo modo: multiplicamos o monmio pelas parcelas do polinmio e somamos os resultados. 

Exemplo 

<R+>
1. Vamos multiplicar x3 por x2+2: x3'`(x2+2)=
  =x3`(x2+2)=x3'x2+x3'
  '2=x5+2x3. 
<193>
  Essa multiplicao tambm pode 
<P>
  ser indicada da seguinte maneira: x2+2"x3=x5+2x3 

<F->
   x2+2
  "   x3
  :::::::::::
  x5+2x3
<F+>
<R->

Multiplicao de dois polinmios 

  Quando multiplicamos dois nmeros naturais, 12 por 24, por exemplo, uma maneira  efetuar (10+2) por (20+4), usando a propriedade distributiva. Veja: 

<R+>
_`[{tabela adaptada_`]
<R->

<F->
  Indicao detalhada

          20+4
        " 10+2
        ::::::::
          40+8
     200+40
     :::::::::::
     200+80+8

  Indicao abreviada

     24
   " 12
   :::::
     48
   + 24
   :::::
    288
<F+>

  Ento, podemos efetuar 12'24 com estas indicaes: (10+2)`(20+4)=200+40+40+
 +8=288. 
  A multiplicao de polinmios  feita do mesmo modo: multiplicamos cada monmio do primeiro polinmio pelos monmios do segundo, e somamos os resultados. 
<P>
Exemplos 

<R+>
1. Vamos efetuar: `(x+2)`(x+3) 

<F->
          x+3
         "x+2
         :::::::
          2x+6
    +x2+3x
    ::::::::::::
     x2+5x+6 
<F+>

  Ateno!

  Para efetuar a adio, monmios semelhantes, como 2x e 3x, so colocados um embaixo do outro. 
  Essa multiplicao pode ser feita numa s linha: `(x+2`)`(x+3`)=x2+3x+2x+6=
  =x2+5x+6 
<194>
 2. Vamos efetuar: `(5x+7`)`(3x2+2x-4`) 
  `(5x+7)(3x2+2x-4)=
  =15x3+10x2-20x+21x2+
  +14x-28=15x3+31x2-6x-
  -28 

Atividades

1. Efetue: 
 a) 2y`(y3-1`) 
 b) x2`(x2+x+1`) 
 c) -2x2y3`(5x2-xy+6y2`) 
 d) `(x+1`)`(x+3`) 
 e) `(3x+2`)`(3x-2`) 
 f) `(2x+5`)`(3x-4`) 
 g) `(x+1`)`(x2-x+1`) 
 h) `(2y+1`)`(3y2-2y-11`) 
 i) `(x+2y`)`(x+y-5`) 

2. Efetue as multiplicaes e, depois, reduza os termos semelhantes. 
 a) 2x`(x-2`)+3x`(x-5`) 
 b) x`(2x-10`)-5x`(x-2`) 
 c) `(x+2`)`(x+3`)-2`(x+4`)

3. Efetue: `(2x2-3x-2`)`(3x2-x-3`) 

4. Veja como se eleva um polinmio ao quadrado: 
  (2x+3)2=(2x+3)(2x+3) 
  (2x+3)2=4x2+6x+6x+9 
<P>
  (2x+3)2=4x2+12x+9 
  Agora, calcule: 
 a) `(x+1)2 
 b) `(x-10)2 
 c) `(3x+4)2 
 d) `(5-x`)2 

5. Observe o exemplo: 
  2x`(x+2)`(x-3)=`(2x2+
  +4x`)`(x-3`) 
  =2x3-6x2+4x2-12x= 
  =2x3-2x2-12x 
  Agora, efetue: 
 a) 3x2(2x+1)(2x-3) 
 b) -2x`(x+4)(2x-3)

6. Com as letras A, B e C, vamos indicar estes polinmios: 
  A=x+2; B=2x-5; C=3x+4. 
  Veja como se calcula A-{b{c: 
  A-{b{c=x+2-`(2x-5)(3x+4) 
  A-{b{c=x+2-`(6x2+8x-15x-
  -20) 
  A-{b{c=-6x2+8x+22 
  Agora, calcule: 
 a) B+{a{c
 b) C-{a{b

7. Calcule a rea do retngulo {a{b{c{d de dois modos diferentes: 
 a) multiplicando o comprimento pela largura; 
 b) somando as reas dos retngulos I, II, III e IV. 

<F->
   A              B
    !::::::::::::::
  2l II _   I   _
    r::::::w::::::::w
  x lIII _  IV  _
    l      _        _
    h::::::j::::::::j
   D   x      7  C
<F+>

<195>
Pensando em casa

8. Efetue: 
 a) `(-5y2)`(xy2-2y3`) 
 b) `(3x2y`)`(xy+5`)  
 c) `(y10`)`(y4-y3+1`)
 d) `(5x-2y`)`(2x-3y`)
 e) `(x+3`)`(x3-2x+5`)
 f) `(2y-3`)`(y2-3y-2`)
<P>
9. Com as letras A, B e C, vamos indicar estes polinmios: A=x-6; B=2x-1; C=4x+7. 
  Efetue: 
 a) A+{b{c
 b) C-{a{b
 c) {a{b{c

10. Calcule: 
 a) `(x+3`)2  
 b) `(x-7`)2
 c) `(4x-5`)2
 d) `(2x+1`)2

11. Veja: 4 dezenas+9 unidades=4'10+9. 
  Agora, represente um nmero com: 
 a) 4 dezenas e x unidades; 
 b) y dezenas e 4 unidades; 
 c) x dezenas e y unidades. 

12. Ao fazer exerccios fsicos, no convm exigir demais do corao. Os mdicos dizem que o nmero de batimentos cardacos por minuto deve ser por volta de 80% da diferena entre 220 e a idade de quem faz o exerccio. Essa recomendao mdica se traduz por uma frmula como esta: ...=0,8`(220-...`) 
 a) Indicando por B o nmero de batimentos e por *i* a idade do praticante, escreva a frmula. 
 b) Aplicando a frmula, uma pessoa obteve B=144. Qual  a idade dessa pessoa?

13. Se voc escrever um nmero natural, de 40 a 49, multiplic-lo por 10 e subtrair 396, obter o mesmo nmero, mas com a ordem dos algarismos invertida. 
 a) Faa esse truque com o nmero 46. Qual ser o resultado? 
 b) Utilizando a lgebra, explique por que esse truque sempre d certo.

14. Se voc imaginar trs nmeros naturais consecutivos, poder ter uma pequena surpresa. Multiplicando o menor pelo maior e depois somando 1, obtm-se o nmero do meio, elevado ao quadrado. 
 a) Mostre que isso acontece com os nmeros 6, 7 e 8. 
 b) Mostre que isso acontece sempre, utilizando os nmeros x-1 e x+1.

15. De um quadrado com lado de 10 cm, recortamos quadradinhos iguais dos quatro cantos, para formar uma cruz. 
 a) Qual  o permetro, em centmetros, da cruz? 
 b) O permetro  dado por uma expresso algbrica. Calcule seu valor numrico para x=2 e para x=3. O que voc observa?

Desafios e surpresas
 
1. Na figura, h um quadrado dividido em quatro partes: dois quadrados menores e dois retngulos. As reas de cada parte esto indicadas. Quanto mede o lado do quadrado maior? 

Legenda:
 A: x2
 B: 6x
 C: 6x
 D: 36x 

<F->
  !::::::
  lA_ B _
  r::w::::w
  lC_ D _
  l  _    _
  h::j::::j
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<196>
2- Observando regularidades: os 
  produtos notveis 

  A palavra produto, como voc j sabe, refere-se ao resultado de uma multiplicao. Quanto  palavra notvel, ela quer dizer *digno de nota, importante*. Os produtos notveis so produtos especialmente importantes, porque aparecem muito nos clculos algbricos, e o mais interessante  que, nos produtos notveis, voc no precisa fazer todos os clculos.  s observar o padro que se repete, descobrir as regularidades e voc j sabe qual  o produto... 

Quadrado da soma 

  Este  o primeiro produto notvel que veremos. Ele resulta de uma soma elevada ao quadrado: `(x+y`)2. 
  Quando encontramos uma soma de dois nmeros elevada ao quadrado, efetuamos primeiro os clculos dentro dos parnteses. 
  Por exemplo: (4+3)2=72=7'7=49. 
  No entanto, em `(x+y`)2 isso no  possvel. 
  Nesse caso, transformamos `(x+y`)2 em `(x+y`)`(x+y`) e, a, efetuamos esta multiplicao: 
 `(x+y`)2=`(x+y`)'`(x+y`)=x2+xy+yx+
 +y2=x2+2xy+y2. 

 `(x+y`)2=x2+2xy+y2 

  Produtos como esse obedecem a uma regularidade, tm um padro. Veja: 
<F->
x+y2=x2+2xy+y2
x: 1 termo
y: 2 termo
x+y2: quadrado da soma
x2: quadrado do 1
2xy: duas vezes o 1 pelo 2
y2: quadrado do 2
<F+>
  Vamos calcular `(2x+3`)2 e verificar se obedece ao padro: 
<F->
2x+32=2x+32x+3=
=4x2+6x+6x+9=
=4x2+12x+9; perfeito!
4x2: quadrado do 1
12x: duas vezes o 1 pelo 2
9: quadrado do 2
<F+>
<197>
  Mais um exemplo: (4+3)2. 
  Sabemos que (4+3)(4+3)=
 =7'7=49. Mas veja o que acontece se fizermos essa multiplicao utilizando o padro que acabamos de analisar: 
 (4+3)(4+3)=42+2'4'3+
 +32=16+24+9=49.
<P>
 42: quadrado do 1
 2'4'3: duas vezes o 1 
  pelo 2
 32: quadrado do 2 
  Excelente! O padro funciona perfeitamente!

Exemplos

<R+>
 `(x+9)2=x2+2'x'9+92=
  =x2+18x+81 
  (3x+5)2=`(3x`)2+2'`(3x`)'
  '(5)+52=9x2+30x+25
  `(x3+2y`)2=`(x3`)2+2'
  'x3'`(2y`)+`(2y`)2=x6+
  +4x3y+4y2 
  `(2~3+x`)2=`(2~3`)2+2'
  '2~3'x+x2=4~9+4x~3+
  +x2
<R->

Visualizao do quadrado da soma 

  Observe o quadrado. 
  Seu lado mede x+y. 
  Portanto, sua rea  `(x+y`)2. 
<P>
<F->
Legenda:
am: amarelo
az: azul
vd: verde
  
      x    y
  !::::::::
  l      _  _
x l  vd  _am_
  l      _  _
  r::::::w::w
y l  am  _az_
  h::::::j::j
<F+>

  Podemos calcular essa rea de outra maneira: somando a rea de cada uma das quatro partes em que o quadrado est dividido.
<F->
x2: rea do quadrado verde
2xy: rea dos retngulos amarelos
y2: rea do quadrado azul

x+y2=x2+2xy+y2
<F+>

<198>
Quadrado da diferena 

  Esse produto notvel pode ser visto de maneira bem resumida, porque  muito parecido com o anterior. Trata-se do quadrado de uma diferena: `(x-y`)2. 
 `(x-y`)2=`(x-y`)'`(x-y`)=x2-xy-yx+
 +y2=x2-2xy+y2 

`(x-y`)2=x2-2xy+y2 

  Mais uma vez podemos observar que ocorre um padro. Voc sabe dizer qual ? `(x-y`)2=x2-2xy+y2
  Esse padro pode ser utilizado para calcular o quadrado da diferena de dois nmeros: 
<F->
8-52=82-2'8'5+52=
=64-80+25=9.
8-52: quadrado da diferena
82: quadrado do 1
2'8'5: duas vezes o 1 
  pelo 2
52: quadrado do 2
<F+>
  Mas  claro que  mais simples calcular assim: (8-5)2=32=9. 
<P>
  A vantagem de saber o padro aparece quando temos expresses algbricas.

Exemplos 

<R+>
 `(x-4)2=x2-2'x'4+42=
  =x2-8x+16 
  x2: quadrado do 1
  2'x'4: duas vezes o 1 
  pelo 2
  42: quadrado do 2
  `(3x2-2y`)2=(3x2)2-
  -2`(3x2`)`(2y`)+`(2y`)2=
  =9x4-12x2y+4y2 
  3x22: quadrado do 1
  23x22y: duas vezes o 
  1 pelo 2
  2y2: quadrado do 2
<R->

Produto da soma pela diferena 

  No primeiro produto notvel tnhamos uma soma multiplicada por uma soma; no segundo, uma diferena multiplicada por uma diferena. Agora, temos uma soma de dois termos multiplicada pela diferena dos mesmos termos. Veja: 
 `(x+y`)`(x-y`)=x2+xy-yx-y2=
  =x2-y2. 

`(x+y`)`(x-y`)=x2-y2 

<199>
  Nesse produto ocorre um padro diferente. Veja: 
 x+yx-y=x2-y2.
 x+y: 1 termo -- soma
 x-y: 2 termo -- diferena
 x2: quadrado do 1
 y2: quadrado do 2
  Vejamos um exemplo numrico desse padro: 
 7+37-3=72-32=
 =49-9=40.
 7+3: 1 termo -- soma
 7-3: 2 termo -- diferena
 72: quadrado do 1
 32: quadrado do 2
   evidente que esse clculo  mais simples assim: (7+3)(7-3)=10'4=40. 
  A vantagem de saber o padro aparece quando temos expresses algbricas. 

Exemplos 

<R+>
 `(x+5)`(x-5)=x2-52=
  =x2-25
  x2: quadrado do 1
  25: quadrado do 2
  (2x3+7)(2x3-7)=
  =(2x3)2-72=4x6-49
  2x32: quadrado do 1
  72: quadrado do 2

Atividades 

16. Calcule (13+6)2 de dois modos: 
 a) efetuando primeiro a adio dentro dos parnteses; 
 b) usando a regra do quadrado da soma.

17. Calcule as potncias: 
 a) `(a+b`)2 
 b) `(c+d`)2 
 c) `(x+5`)2 
 d) `(x+4`)2
<P>
18. Calcule tambm: 
 a) x3`(x+6`)2 
 b) `(x+1`)2-x`(x+2`) 
 c) `(y+2`)2+`(y+1`)2

19. Calcule o quadrado da soma: 
 a) `(x3+1)2
 b) `(x5+2)2
 c) `(y+#,b`)2 
 d) `(4y+#,b`)2 

20. Agora, calcule o quadrado da diferena: 
 a) `(x-7)2  
 b) `(x-3)2
 c) `(x2-6)2
 d) (3x2-y2)2

21. Efetue o produto da soma pela diferena: 
 a) `(x+10)`(x-10) 
 b) `(x+3)`(x-3)
 c) `(x3-2)`(x3+2)
 d) `(5x2-3y`)`(5x2+3y`) 

<200>
22. Qual  o menor nmero inteiro pelo qual devemos multiplicar o produto 233520 para obter um quadrado perfeito? 
  Sugesto: fatore os nmeros 35 e 20.

23. Nesta figura, indicamos a rea de um quadrado e de um retngulo. A rea do quadrado  x2 e a do retngulo  5x. 

<F->
  !::::::::
  l     _   _
  l x2_5x_
  l     _   _
  r:::::w:::w
  l II_I _
  h:::::j:::j
<F+>

a) Qual  a rea do outro quadrado I? 
 b) Qual  a rea do outro retngulo II? 
 c) Qual  a rea total da figura? 

24. Lgia calculou o quadrado de uma soma e obteve o polinmio 
<P>
  x2+8x+16. Encontre essa soma.

25. Veja como Paulo calcula mentalmente o produto 42'38: 

_`[{paulo pensa: "42  40+2 e 38  40-2... J sei! Vou usar um produto notvel! 42'38=40+2'40-2=
  =1.600-4=1.596."_`]

  Use os produtos notveis e calcule mentalmente: 
 a) 35'25 
 b) 53'47 
 c) 26'14

26. Vou dar trs informaes: 

_`[{figura: uma menina segura um cartaz com o texto a seguir_`]

  x e y so nmeros positivos
  x+y=48
  x2+y2=100

a) Quanto d `(x+y`)2? 
 b) Fazendo tentativas, descubra o valor de x e de y.

27. Renata  muito distrada! Veja o engano que ela cometeu ao resolver este exerccio. Voc pode corrigi-lo? 

_`[{figura: numa folha de caderno est escrito: x+32=
  =x2+9_`]

28. Neste clculo, vamos usar os trs produtos notveis. 
  `(x+2)2-2'`(x+2)`(x-2)+
  +`(x-2)2=x2+4x+4-2`(x2-
  -4)+x2-4x+4=x2+4x+4-
  -2x2+8+x2-4x+4=16 
  Agora, efetue: 
 a) `(x+2)2+2`(x-3)2+
  +`(x+4)`(x-4) 
 b) (2x+3)2-`(x+3)`(x-3)

29. Escreva as expresses algbricas que representam o permetro e a rea da figura. 
<P>

<F->
  !:::::::
  l       _
  l       _ 2a+3b
  l       _
  l       _
  h:::::::j 
  2a+3b
<F+>

<201>
30. (Saresp) Observe as duas listas de expresses: 
  A. x2+6x+9  
  B. x2-9  
  C. x2-6x+9  
  D. x2+4x+3  
  I. `(x+3)'`(x-3)
  II. `(x+3)'`(x+1)
  III. `(x-3)2
  IV. `(x+3)2
  As expresses equivalentes so: 
 a) A -- I; B -- II; C -- IV; D -- III 
 b) A -- II; B -- III; C -- IV; D -- I 
 c) A -- IV; B -- I; C -- III; D -- II 
<P>
 d) A -- IV; B -- II; C -- IV; D -- I

31. Considere os sinais y e wr como variveis. D os resultados de: 
 a) `(y+wr`)2 
 b) `(y+wr`)`(y-wr`) 
 c) `(y-wr`)`(y-wr`) 
 d) `(2y-wr`)2 

32. Use o exerccio anterior para encontrar uma multiplicao de polinmios que resulta em: 
 a) a2-100 
 b) a2-2ax+x2 
 c) a2-8a+16 
 d) x2-y4 

_`[{figura: uma mulher diz: "Sabemos de cor a tabuada: 5"7=35; 8"6=48 etc. Na lgebra,  bom saber de cor os padres dos produtos notveis."_`]
<P>
Pensando em casa

33. (Saresp) A expresso algbrica que representa "o qua-
  drado da soma de dois nmeros, menos 3 unidades" : 
 a) `(a+b`)2-3 
 b) `(a+b-3)2
 c) a2+b2-3
 d) a+b-32

34. D o produto da soma pela diferena: 
 a) (3y-7)(3y+7) 
 b) `(x4+2)`(x4-2) 
 c) `(3x2+y`)`(3x2-y`) 
 d) (2x3+3y2)(2x3-3y2)

35. Calcule os produtos notveis: 
 a) `(2x+15y`)2 
 b) `(2x-15y`)2 
 c) `(2x+15y`)`(2x-15y`)
<P>
36. Na figura a seguir, indicamos a rea de dois quadrados: um tem rea x2, sendo x um nmero real positivo; o outro tem rea 36. 

<F->
  !:::::::::
  l     _    _
  l x2_II_
  l     _    _
  r:::::w::::w
  l I  _ 36_
  h:::::j::::j
<F+>

 a) Qual  a rea do retngulo I? E do retngulo II? 
 b) Qual  a rea total da figura? 

37. Efetue: 
 a) `(x+1`)`(x-1)+`(x+2)`(x-2)+
  +`(x+3)`(x-3) 
 b) `(2x+1)`(2x-1)+`(3x+
  +2)`(3x-2)+`(4x+3)`(4x-3) 
 c) `(x+y`)2-`(2x+2y`)2+`(3x+
  +3y`)2 
 d) `(x+y`)`(x-y`)+`(x-y`)2-`(x+y`)2 

<202>
38. Vou dar trs informaes:

_`[{figura: um menino segura uma placa com o texto a seguir_`]

  x e y so nmeros positivos
  x+y2=144
  x2+y2=104

a) Quanto d x+y? 
 b) Quanto d x'y? 
 c) Fazendo tentativas, descubra o valor de x e y.

39. Representamos "o quadrado da soma de x com y" pela expresso algbrica `(x+y`)2. Note que "a soma dos quadrados de x e y"  representada por uma expresso algbrica diferente: x2+y2. 
  Agora, represente algebricamente: 
 a) a diferena dos quadrados de x e y; 
 b) o quadrado da diferena de x 
  e y; 
<P>
 c) o quadrado de x, menos o dobro do produto de x por y, mais o quadrado de y;
 d) o produto da soma de x com y pela diferena de x e y; 
 e) a soma do produto de x por y com a diferena entre x e y; 
 f) a diferena entre os quadrados de x e de y.

Desafios e surpresas

2. Escolhi dois nmeros naturais consecutivos. Elevei cada um ao quadrado. A diferena entre os dois resultados deu 331. Quais foram os nmeros escolhidos? 
 3. A figura representa a piscina de um clube, vista do alto. Ela  quadrada e, ao seu redor, h um piso que ocupa uma rea de 160 m2. Calcule a medida x dos lados da piscina. As medidas so dadas em metros. 
<R->
<P>

<F->
  !::::::::::,,
  l          _ 2
  l pcccccc _aa
  l l      _ _
  l l      _ _ x
  l l      _ _ 
  l v------# _aa
  l          _ 2
  h:!:::::::w,,
  2    x   2
<F+>

<203>
Ao sobre generalizao 

Raxioxine! 

  Para esta atividade, cada aluno deve trazer cerca de 15 caixinhas de fsforos. Alunos prximos devem juntar suas caixas para formar as pilhas que vamos solicitar, mas as perguntas devem ser respondidas individualmente, sem a ajuda de colegas. 
  Inicialmente, vamos formar esta pilha: 

<R+>
_`[{figura: dois meninos observam a pilha formada por caixas de fsforos_`]
 Legenda: Pilha com 3"3 caixinhas na base e altura uniforme de 3 caixas de fsforos.
<R->

  Nesta pilha, h caixinhas escondidas e caixinhas visveis. As visveis tm alguma parte  mostra para algum que ande em volta da pilha; as invisveis, no. 
  A primeira tarefa individual  confirmar que esta pilha tem 25 caixinhas visveis. 
  A seguir, os alunos devero montar as pilhas representadas abaixo e em cada uma calcular quantas so as caixas visveis. 

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Pilha com 4"4 caixinhas na base e altura uniforme de 3 caixas de fsforos.
 Legenda 2: Pilha com 5"5 caixinhas na base e altura uniforme de 3 caixas de fsforos.
<R->
<P>
<204>
  Finalmente, vamos imaginar uma pilha que tenha x"x caixinhas na base e altura uniforme de 3 caixas. Para dizer quantas caixas visveis h nessa pilha imaginria, o aluno dever fazer clculos algbricos e apresentar como resposta uma expresso algbrica. 
  Encontrada essa expresso algbrica, o aluno dever substituir x por 3, por 4 e por 5, e interpretar os valores obtidos. 

<R+>
_`[{tabela adaptada. "Relatrio individual"_`]
<R->

<F->
Pilha   _ nmero de 
         _ caixas visveis
:::::::::w::::::::::::::::::
3"3"3 _ 25
4"4"3 _ '''
5"5"3 _ '''
x"x"3   _ '''
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<205>
<P>
3- Um pouco de diviso 

Diviso de polinmio por monmio 

  Veja esta diviso de nmeros reais: (70+20)10=9010=9. 
  Veja outra maneira de efetu-la: (70+20)10=(70+20)'
 '#,aj=#=}aj+#;}aj=7+2=9. 
   possvel fazer dessa maneira porque dividir por 10  o mesmo que multiplicar por #,aj. Ao multiplicar, usamos a propriedade distributiva. 
  Este segundo exemplo pode nos ajudar a dividir polinmios por monmios: (6x5-10x4+7x3)
 2x3=6x52x3-10x4
 2x3+7x32x3=3x2-
 -5x+#=b.
 
Casos simples de diviso de 
  polinmios 

  Nesse tipo de diviso, vamos estudar apenas casos em que os termos da diviso tm fatores que podem ser cancelados. 
<P>
Exemplos 

<R+>
1. `(x2+5x`)`(x2+5x`)=?x2+
  +5x*?x2+5x*=1 
  Como supomos que x2+5x representa algum nmero real no nulo, o resultado deve ser 1 porque um nmero no nulo dividido por si mesmo d 1. 
 2. Neste exemplo, temos uma multiplicao seguida de uma diviso de polinmios: 
  x2+5x'3x-2x2+5x=
  =?x2+5x'3x-2*
  ?x2+5x*

_`[{simplificando no numerador e no denominador o termo x2+5x_`]

  =1'3x-21=3x-2

  Novamente dividimos uma expresso por ela mesma, obtendo 1. 

<206>
<P>
Atividades

40. Encontre o quociente da diviso de 8x6+4x5+20x4 por: 
 a) x2 
 b) x4
 c) 4
 d) 4x4

41. Efetue as divises: 
 a) ?2x5+3x4*x3
 b) ?3y3-7y2+8y*y
 c) ?x3y2+x2y3+xy4*
  xy2
 d) ?12x3y4-18x4y3*
  -6x3y3

42. Faa estas tambm: 
 a) (3x2+5x+6)
  `(3x2+5x+6) 
 b) `(x+4)`(x+3)`(x+2)
  `(x+4)`(x+3) 

43. Se eu lhe disser: (3x+2)`(x-4) d 3x2-
  -10x-8, voc pode me dizer 
<P>
  qual  o quociente de `(3x2-
  -10x-8`)`(x-4)?
 44. Veja o desafio da professora: "Pense em um nmero natural. Some 3. Multiplique o resultado pelo nmero pensado. Agora, some o dobro do nmero pensado. Depois, divida o resultado pelo nmero pensado. No final, deu o nmero pensado mais 5, no ? Mostre que isso sempre acontece, usando lgebra." 

45. Responda: 
 a) Que polinmio, dividido por x+6, d x+6, com resto zero? 
 b) Que polinmio, dividido por x+6, d x-6, com resto zero?

Pensando em casa 

46. Efetue estas divises: 
 a) ?15x4-45x3-6x2*
  3x2 
 b) ?14x3y3+21x2y4-
  -28xy5*7xy3
<P>
 c) ?3x6-2x4-5x2*
  -0,5x2 
 d) ?3x2y2-6xy+9xy2*
  #:dxy 
 
47. Pense em um nmero real x, no nulo. Some 7. Multiplique o resultado por 5. Subtraia 35. Divida o resultado pelo nmero pensado. Qual  o resultado final? 
 48. Pense em um nmero natural qualquer. Some 5. Multiplique por 3. Subtraia 12. Divida por 3. O resultado sempre  o sucessor do nmero que voc pensou. Usando a lgebra, explique por que isso sempre acontece.

49. Efetue: 
 a) ?`(x2-7x+9)`(x2-3x`)*
  ?x2-3x* 
 b) ?`(x+1)`(x+2)`(x+3)*?x+2* 

50. Dividindo-se o polinmio P por x+4, o resultado  x+1. Essa diviso  exata, ou seja, 
<P>
  o resto  zero. Qual  o polinmio P?
 51. Voc  capaz de descobrir qual  o polinmio secreto? 
  Polinmio secreto 2x2+5x+
  +3=3x-2.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<207>
4- Fatorao dos produtos 
  notveis 

  Suponha que voc v fazer a diviso 28917. Se voc souber de cor que 289=172, o clculo ser imediato: 28917=172
 171=17. 
  A mesma coisa acontece na lgebra. Para efetuar ?x2+2xy+
 +y2*?x+y*, se notarmos que x2+2xy+y2  o resultado de `(x+y`)2, a diviso ser imediata: ?x2+2xy+y2*?x+y*=`(x+y`)2
 `(x+y`)1=x+y. 
  Ao escrevermos o nmero 289 como 172 ou 17'17, ns o transformamos em uma multiplicao de dois fatores. Nesse caso, fizemos a fatorao de 289. Da mesma forma, ao transformarmos x2+2xy+y2 em `(x+y`)2, efetuamos a fatorao do polinmio x2+2xy+y2. 
  Fatorar um polinmio  escrev-lo como uma multiplicao de polinmios. 
  Muitas vezes fatoramos os polinmios porque eles resultam de multiplicaes conhecidas. Por exemplo, fatorar x2+2xy+y2  simples quando reconhecemos que esse polinmio  `(x+y`)2. 

Fatorao da diferena de 
  quadrados 

  Considere o polinmio x2-y2. 
  Nos produtos notveis, vimos que essa diferena de quadrados  o resultado de `(x+y`)'`(x-y`). Portanto: 
<R+>
 x2-y2=x+y'x-y 
 x2-y2: diferena de quadrados 
<P>
 x+y: soma das bases das potncias 
 x-y: diferena das bases das potncias
<R->

Exemplos 

<R+>
 Vamos fatorar x2-25. 
  Como 25=52, temos uma diferena de quadrados: x2-52. 
  Logo: x2-25=x2-52=
  =`(x+5)`(x-5). 
<208>
  Vamos fatorar 49x2-1.
  49x2-1=`(7x`)2-1=
  =(7x+1)(7x-1). 
  Vamos fatorar a2-#,d. 
  a2-#,d=a2-`(#,b`)2=
  =`(a+#,b`)`(a-#,b`).
<R->

Fatorao do trinmio quadrado 
  perfeito 

  O polinmio x2+2xy+y2  um trinmio quadrado perfeito.  um trinmio porque tem trs monmios e  um quadrado perfeito porque, como j sabemos, ele  o quadrado de `(x+y`), ou seja,  o resultado de `(x+y`)2. 
  Outro trinmio quadrado perfeito  x2-2xy+y2, que  o resultado de `(x-y`)2. 
  Assim, temos mais dois polinmios que sabemos fatorar: 
<R+>
 o x2+2xy+y2=x+y2.
  x2+2xy+y2: trinmio quadrado perfeito
  x+y2: quadrado da soma
 o x2-2xy+y2=x-y2.
  x2-2xy+y2: trinmio quadrado perfeito
  x-y2: quadrado da diferena
<R->
  Mas ateno! Como voc ver nos exemplos, h trinmios que so quadrados perfeitos e outros que no so. 

Exemplos 

<R+>
1. O polinmio x2+12x+36  um trinmio quadrado perfeito? 
  Para responder, inicialmente verificamos se dois termos do trinmio so quadrados. 
  Nesse caso, x2 e 36 so qua-
  drados. Suas bases so x e 6. x2+12x+36. 
  Agora, efetuamos o duplo produto das bases (quer dizer, multiplicamos por 2 o produto das bases) para verificar se o resultado  igual ao termo restante: 2'x'6=12x. 
  Nesse caso, o termo restante  justamente 12x, logo: x2+12x+36=`(x+6)2. 
  Portanto, x2+12x+36  um trinmio quadrado perfeito. 
<209>
 2. O polinmio 9x2-12x+25  um trinmio quadrado perfeito? 
  Observe inicialmente que dois termos so quadrados: 9x2=
  =`(3x`)2 e 25=52. 
  Suas bases so `(3x`) e 5. 
  Agora, efetuamos: 2'`(3x`)'5=
  =30x. 
  Nesse caso, o termo restante no  30x nem -30x. 
  Portanto, 9x2-12x+25 no  um trinmio quadrado perfeito. 
<P>
<R+>
 3. Vamos fatorar x6-2x3y+
  +y2.
  x6=`(x3`)2 e y2 tambm  um quadrado. 
  O duplo produto das bases  2x3y. 
  Ento, x6-2x3y+y2=
  =`(x3-y`)2. 

Atividades 

52. D exemplo de um trinmio quadrado perfeito.

53. As seguintes expresses so diferenas de dois quadrados. Fatore-as: 
 a) x2-4 
 b) y2-36 
 c) 9x2-16
 d) 81x2-64
 e) y2-25x2
 f) 4x2-25a2

_`[{figura: duas crianas estudam. O menino pensa: "x2-4" e a menina: "x+2x-2"_`]

54. Considere as expresses: 
  A=x2-7x+12 
  B=x2-4 
  C=3x3-7x2+5x+12 
  D=x2-4x+4 
  E=x2+10x+25 
  F=a5+2ab+b2 
 a) Quais dessas expresses so trinmios? 
 b) Quais desses trinmios so trinmios quadrados perfeitos?

55. As expresses seguintes so trinmios quadrados perfeitos. Fatore cada uma delas. 
 a) x2+8x+16 
 b) x2-8x+16 
 c) 4x2-20x+25
 d) 9x2-12x+4
 e) x2-2x+1
 f) 121x2+22x+1

56. Fatore: 
 a) 16y6-x4
 b) 25m2+20m+4 
 c) 25x2-10x~3+1~9 

57. Observe a fatorao se-
  guinte: 
  a4-1=`(a2+1)`(a2-1). 
  A fatorao ainda no est completa porque o fator `(a2-1`) tambm  uma diferena de quadrados. Ento, temos: a4-1=`(a2+1)`(a2-1)=
  =`(a2+1`)`(a+1`)`(a-1`). 
  Agora, decomponha num produto de trs fatores: 
 a) x4-1 
 b) 81a4-1
 c) x20-81
 d) 625-x4

<210>
58. Para que todas as expresses dadas a seguir sejam trinmios quadrados perfeitos, que monmio de coeficiente positivo devemos escrever no lugar de ...? 
 a) x2+...+100 
 b) x2+...+25 
 c) x4+...+25 
 d) x2-...+9 
 e) 16x6+...+49 
 f) x4-...+9y2 

59. Efetue as divises seguintes, aps fatorar o dividendo. 
 a) ?x2-14x+49*?x-7*
 b) ?x2-16*?x+4*
 c) ?25x2-10x+1*
  ?`(5x-1`)2*
 d) ?x2+6x+9*?x+3*

Pensando em casa

60. Parece difcil fazer mentalmente 31'29, mas no . Nesse caso, a lgebra ajuda. 
  31'29=(30+1)'(30-1). 
  31'29=302-12=900-1=
  =899. 
  Nesse mtodo, utiliza-se um produto notvel e calcula-se 302, que  bem fcil. Use o mesmo mtodo e calcule: 
 a) 21'19 
 b) 22'18
 c) 91'89
 d) 102'98
<P>
61. Posso calcular 52+2'5'3+32 assim: 52+2'5'3+32=
  =(5+3)2=64. 
  Da mesma forma, calcule: 
 a) 32+2'3'6+62 
 b) 172+2'17'13+132

62. Para que todas as expresses dadas a seguir sejam trinmios quadrados perfeitos, que monmios devemos escrever no lugar de ...? 
 a) x2-14x+... 
 b) 4x2-40x+... 
 c) x4-12x2y2+...
 d) x2+5x+...
 e) x24+3x+... 
 f) x2-x+... 

63. Fatore: 
 a) x2+x+1~4 
 b) x2+x~3+1~36
 c) x2-?2xy3*~3+y6~9 
 d) 1-x~2+x2~16 
<P> 
64. D a forma fatorada das expresses: 
 a) 9a6b4-169 
 b) 4a8-49b4c2
 c) a29-?25b4*~16
 d) x2~4-121

65. Simplifique a expresso: ?x2-4*?x+2*+?x2+6x+9*
  ?x+3*. 
  Sugesto: comece simplificando cada frao e, depois, reduza os termos semelhantes. 

66. Considere as expresses:
  A=?a6+6a3b+9b2*
  ?a3+3b*
  B=?a6-9b2*?a3-3b*
  C=?a4-2a2+1*
  ?`(a2-1`)2*
  Efetue A-B+C.

67. Considere a expresso: ?`(x+2)`(x2-4x+4)-`(x2-
  -4)*?x-2*. 
  Calcule o seu valor numrico para: 
 a) x=-2 
 b) x=3 
 c) x=-3 
 d) x=4 
  Sugesto: procure, antes, simplificar a expresso.

68. Efetue: ?123.4562-
  -12.3452*?123.456+12.345*. 
 69. Multiplique um nmero natural pelo sucessor de seu sucessor. (Por exemplo, 3'5 ou 9'11.) Some 1 ao resultado. A, extraia a raiz quadrada. Surpresa! Essa raiz quadrada  sempre um nmero inteiro. Usando lgebra, explique porque isso acontece.

Desafios e surpresas

4. Que nmero somado a 1.9882 resulta em 1.9892? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<212> 
<P>
5- Fatorao usando fatores 
  comuns 

  Vamos efetuar esta multiplicao: 3x`(y+3z+2). 
 3xy+3z+2=3xy+9xz+6x
 3xy+3z+2: forma fatorada
 3xy+9xz+6x: forma no fatorada
  Tendo a forma no fatorada, vamos ver como se faz para fator-la. 
  Primeiro, observe que, em 3xy+9xz+6x, 3x est presente nos trs monmios. Ento, faremos com que 3x multiplique os trs de uma s vez: 3xy+9xz+6x=`(3x`)y+
 +`(3x`)'3z+`(3x`)'2=`(3x`)`(y+3z+
 +2).
  Ao fazer isso, dizemos que 3x foi colocado em evidncia. Colocar em evidncia significa destacar, fazer sobressair, salientar. 
  Observe ainda que, para obter a expresso que est entre parnteses, dividimos a expresso inicial por 3x: ?3xy+9xz+6x*3x=3xy
 3x+9xz3x+6x3x=y+3z+2. 
 
  Quando todos os termos de uma expresso algbrica apresentam um fator comum, podemos coloc-lo em evidncia. 
  A forma fatorada  o produto do fator comum por uma expresso que  obtida dividindo-se a expresso inicial pelo fator comum. 

Exemplos 

<R+>
 Vamos fatorar 6x3+8x2. O fator comum  2x2. 
  6x3+8x2=`(2x2`)'3x+
  +`(2x2`)'4=`(2x2`)'`(3x+4). 
  A forma fatorada de 6x3+8x2  2x2`(3x+4). 
<213>
  Vamos fatorar ax-ay+a. O fator comum  *a*. 
  ax-ay+a=ax-ay+a'1=a`(x-y+1). 
  A forma fatorada de ax-ay+a  a`(x-y+1). 
  Vamos fatorar 15x4-35x2y+25x3. O fator comum  5x2. Logo: 
  15x4-35x2y+25x3=
  =5x2`(3x2-7y+5x`). 
<R->

Visualizao do fator comum 

  Considere trs retngulos de mesma largura *a*. 

<F->
      x
  !::::::::
  l        _
a l        _
  l        _
  h::::::::j

rea=a"x

        y
  !:::::::::::
  l           _
a l           _
  l           _
  h:::::::::::j

rea=a"y
<P>
    z
  !::::
  l    _
a l    _
  l    _
  h::::j

rea=a"z 
<F+>

  A soma das trs reas  ax+ay+az. 
  Juntando esses retngulos, forma-se outro retngulo, tambm de largura *a*, com comprimento x+y+z. 

<F->
      x         y       z
  !::::::::::::::::::::::
  l       _           _    _
a l       _           _    _
  l       _           _    _
  h:::::::j:::::::::::j::::j
 
rea=ax+y+z
<F+>
 
  Assim, v-se que: ax+ay+az=
 =a`(x+y+z`). 

Fatorao por agrupamento 

  Vamos examinar a seguinte expresso numrica: 49'227+64'
 '227+72'73+41'73. 
<214>
  No temos um fator comum a todas as parcelas. No entanto, 227  fator comum s duas primeiras parcelas, e 73  fator comum s duas ltimas. Por isso, podemos separar a expresso em dois grupos e, depois, colocar em evidncia o fator comum de cada grupo: 49'227+64'227+72'73+41'73=
 =227'(49+64)+73'(72+41)=
 =227'113+73'113.
  Agora, temos um fator comum: 113. 
  Colocando 113 em evidncia, obtemos a forma fatorada: 227'113+73'113=113(227+73)=
 =113'300. 
  Existem expresses algbricas que podem ser fatoradas dessa maneira, por agrupamento. 
<P>
  Para fatorar uma expresso algbrica por agrupamento: 
<R+>
  formamos grupos com os termos da expresso; 
  em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidncia; 
  colocamos em evidncia o fator comum a todos os grupos (se existir). 

Exemplos 

 Vamos fatorar ax+bx+2a+
  +2b: ax+bx+2a+2b=x`(a+b`)+
  +2`(a+b`)=`(a+b`)`(x+2`). 
  Agora, vamos fatorar x2-ay+xy-ax. Nesse caso, mudaremos a ordem dos termos, para obter grupos com fatores comuns: x2-ay+xy-ax=x2-ax+xy-ay=
  =x`(x-a`)+y`(x-a`)=`(x-a`)`(x+y`). 
  Vamos fatorar y3-5y2+
  +y-5: y3-5y2+y-5=
  =y2`(y-5)+1`(y-5)=
  =`(y-5)`(y2+1).
<P>
Atividades 

70.  fcil efetuar 3'57+2'
  '57+5'57, colocando 57 em evidncia. Veja: 3'57+2'57+
  +5'57=57'(2+3+5)=57'10=
  =570. 
  Utilize o exemplo e efetue: 
 a) 2'57+4'57+6'57+8'57 
 b) 128'188+128'201+128'269+
  +128'342 
 c) 4'96+3'96+2'96+96 

<215>
71. Fatore, colocando o fator comum em evidncia: 
 a) ax+bx+cx
 b) x2+7x 
 c) x5+4x3 
 d) ab+a3 
 e) ?xyz*2+?xz*4+x2 
 f) 80x5+64x3

72. Vamos fatorar 3`(x+2)-
  -5x`(x+2). 
  Resoluo: 3`(x+2)-5x`(x+2)=
  =`(x+2)`(3-5x`). 
<P>
  A forma fatorada de 3`(x+2)-
  -5x`(x+2)  esta: `(x+2)`(3-
  -5x`).
 
73. Fatore, colocando o fator comum em evidncia:
 a) a`(x+2)+b`(x+2)
 b) ?a+1*5-3x`(a+1)

74. D a forma fatorada de x3-a2x. 
  Resoluo: x3-a2x=
  =xx2-a2=xx+ax-a
  x3-a2x: x  fator comum
  xx2-a2: diferena de quadrados.
  A forma fatorada de x3-a2x  x`(x+a`)`(x-a`).

75. Fatore: 
 a) 16y-a2y  
 b) x3-6x2y+9y2x
 c) x2`(a+b`)-4`(a+b`)
 d) 7x7-14x6+7x5

76. Coloque o fator comum em evidncia: 
 a) x`(x2+1`)+`(x2+1`) 
 b) a`(y-3`)-`(y-3`) 
 c) b`(5x-a`)-`(5x-a`) 
 d) x`(7m+n`)+7m+n

77. Veja este clculo: 7'21+3'21+6'23+4'23=
  =21(7+3)+23(6+4)=21'10+
  +23'10=10(21+23)=10'44=
  =440. 
  Use o exemplo e efetue: 
 a) 102'71+102'29-24'52-
  -52'76 
 b) 13'11+7'11-7'16-4'16

78. Fatore, por agrupamento: 
 a) am+an+bm+bn 
 b) 2x+ay+2y+ax 
 c) y3-3y2+4y-12 
 d) ax2-bx2+3a-3b

79. D a forma fatorada de: 
 a) abx+cx+2ab+2c 
 b) 3x5+ax+3y5+ay 
 c) x2y2z+2xy+3xyz+6 
 d) a2x+14x+3a2+34 
<P> 
80. Veja como podemos fatorar o polinmio ax+bx+a+b: 
  ax+bx+a+b=x`(a+b`)+1'`(a+b`)=
  =`(a+b`)`(x+1`) 
  Agora, faa voc: 
 a) ax+2a+x+2
 b) ax2-bx2+a-b

81. Vamos fatorar o polinmio x3-ax2-3bx+3ab: 
  x3-ax2+3ab-3bx=
  =x2`(x-a`)+3b`(a-x`). 
  Observe que a expresso `(a-x`)  a oposta de `(x-a`), isto , a-x=-`(x-a`). Ento: x2`(x-a`)+3b`(a-x`)=x2`(x-a`)-
  -3b`(x-a`)=`(x-a`)`(x2-3b`). Fatore: 
 a) ax+ay-bx-by
 b) ax-4a+6x-24 

<216>
Pensando em casa

82. Efetue estes clculos. Mas lembre-se! Usando a fatorao fica mais fcil... 
 a) 13'43+27'43+16'26+
  +84'26 
 b) 41'51+91'51+68'18+
  +68'33 
 c) ?17'79+79'3*?7'79+
  +2'79+79*

83. Fatore: 
 a) x4+3x3+x2
 b) x3y2-x2y3
 c) 14xy-21xz 
 d) 33xy2-44x2y 
 e) 4ax3+6a2x2+
  +4a3x2
 f) 45a5y4-75a4y5+
  +105a3y

84. Fatore tambm: 
 a) 34a5-58a4+
  +76a6 
 b) 5a3`(x+2)-7a2`(x+2)+
  +4a4`(x+2)

85. Veja como podemos fatorar duas vezes o polinmio x3+6x2+9x: 
  x3+6x2+9x=
  =x`(x2+6x+9)=x`(x+3)2 
  Agora, faa voc: 
 a) x3-8x2+16x 
 b) 3x2+30xy+75y2 
 c) x4-81a4 
 d) a5-9a3 
 e) 64x7-64x4+16x 
 f) `(a+1)a2-`(a+1)

86. D a forma fatorada de: 
 a) 10ax+14bx+15ab+21b2 
 b) x3+5x2+2x+10 
 c) x2y-bxy+ax-ab 
 d) ac+bc+a+b 
 e) x3-3x2+ax-3a 
 f) axy-2xy+ab-2b

87. Para recordar todos os casos de fatorao que vimos, fatore: 
 a) 3~5`(x2-1~3`)+
  +2a`(x2-1~3`) 
 b) a4-3a2b+9b2~4 
 c) 18a6b4-9a7b3+
  +21a4b5  
 d) 81a6b4-a2b2 
 e) 4m2+84mn+441n2 
 f) 1~81-a2b2c2 
<P>
88. Considere a expresso algbrica: ?`(x+y`)2-`(x+y`)`(x-y`)*
  2y. 
  Quando x=2 e y=3, o valor numrico dessa expresso  5; quando x=11 e y=23, o valor numrico  34. Podemos dizer que, com y=0, o valor numrico dessa expresso  a soma dos valores de x e y? Justifique sua resposta. 

Desafios e surpresas

5. Qual  a explicao? 
 a) Se *a*  um nmero natural, a expresso a3-a  sempre divisvel por 6. Por que isso acontece? Fatore a expresso completamente e explique o fato. 
 b) Um namorado pediu  namorada que fatorasse a expresso a2m2o2-2amote+t2e2. Ela o fez e ficou bem feliz. Por qu? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<217>
6- Algumas aplicaes da 
  fatorao 

  Neste item, vamos apresentar algumas aplicaes do contedo dos itens anteriores deste captulo. 

A frmula de rea do trapzio

  Essa frmula apareceu no incio do captulo 4. Vejamos como a lgebra permite deduzir a frmula. 
  Considere o trapzio da ilustrao. 

<F->
      D        C
      pccccccccc
      l         _ 
      l         _  
      l         _   
  ----v---------#----u
 A   X        Y    B
<F+>

<F->
^c?{d{x*=h
^c?{d{c*=b
^c?{c{y*=h
^c?{a{b*=B
^c?{a{x*=x 
^c?{y{b*=y 
^c?{x{y*=b
<F+>

  Vamos obter sua rea, somando a rea do tringulo {a{x{d, do retngulo {c{d{y{x e do tringulo {b{c{y. Perceba que a rea do tringulo {a{x{d  metade da rea de um retngulo de base *x* e altura *h*. Algo parecido ocorre com a rea do outro tringulo. Assim, se At indica a rea do trapzio temos: At=?xh*2+bh+
 +?yh*2=?xh+2bh+yh*2.
  Agora: 
<R+>
  colocamos *h* em evidncia; 
  separamos o termo 2b na expresso x+2b+y ficando com x+b+y+b; 
  finalmente, substitumos a expresso x+b+y por B.
  At=?h`(x+2b+y`)*2=
  =?h`(x+b+y+b`)*2=?h`(B+b`)*2
<R->
  Pronto! Chegamos  frmula. 

<218>
<P>
Simplificao de fraes 
  algbricas 

  Frao algbrica  uma expresso com varivel no denominador. Veja exemplos: 2x
 ?x+1*?x2+2x+1*
  Sempre que possvel  conveniente simplificar essas fraes. Vamos ver alguns casos. 

Exemplos 

<R+>
1. Aqui usamos propriedades da potenciao. 3x5y7
  4x3y9
<R->

_`[{simplificando x e y_`]

?3'x2'1*?4'1'y2*=
  =3x24y2 

<R+>
2. Agora, usaremos fatorao e o que j vimos sobre diviso de polinmios. ?x2+4x+4*
  ?x2+2x*
<P> 
_`[{fatorando o numerador e o denominador_`]

?`(x+2)2*?x`(x+2)*

_`[{simplificando `(x+2)_`]

?`(x+2)1*?`(x'1)*=?x+2*x

3. Observe mais este exemplo: usaremos fatorao por agrupamento. ?y5+y4+y+1*?y+1*=
  =?y4`(y+1)+`(y+1)*?y+1*=
  =?`(y+1)`(y4+1)*?y+1*=
  =y4+1
<R->

Lembrete

  Ateno para as fraes algbricas: o denominador no pode ser nulo! Por qu? Porque no existe diviso por zero. 
  Veja, por exemplo, a frao algbrica 2?x-10*. A varivel *x* pode ser qualquer nmero real, 
<P>
exceto 10, pois x=10 anula o denominador. Devemos ter, ento, x=10. 

Resoluo de equaes 

  Usando fatorao podemos resolver algumas equaes de 2 grau. Veja por exemplo esta: x2-6x+9=0. 
  Para resolv-la, fatoramos o trinmio, obtendo `(x-3)2=0. 
  Agora, raciocinamos: se um nmero ao quadrado resulta em zero, o prprio nmero tem de ser zero. Temos x-3=0 e, portanto, x=3. 

<219>
Atividades 

<R+>
89. Responda com fraes algbricas.
 a) Se um litro de gasolina custa *x* reais, quantos litros de gasolina posso comprar com R$50,00? 
 b) E quantos litros posso comprar com *y* reais?

90. Ana deu *x* figurinhas para serem repartidas entre seus *y* sobrinhos. O mais velho pegou 20 figurinhas e disse aos ou-
  tros que repartissem o restante em partes iguais. Se isso for feito, quantas figurinhas receber cada um?

91. Na frao algbrica ?x2-
  -5x*?2-x* devemos ter x=2, seno haver uma diviso por zero. Da mesma forma, diga como deve ser o valor da varivel nas seguintes fraes algbricas: 
 a) ?x2-5x*3x 
 b) ?2a2+3b*?a-5* 
 c) ?2a2+3b*?a+5* 
 d) ?6a2-2*?2x+6* 

92. Simplifique as fraes: 
 a) ?17'19'41*?11'19'41* 
 b) 8xyzw4uxy

93. Utilizando fatoraes por agrupamento (mas no s elas), simplifique: 
 a) ?ab+3a+2b+6*?b+3*
 b) ?ab+3a+7b+21*?b2-9*
 c) ?ax+bx+ay+by*?x2+2xy+y2*

94. Resolva as equaes: 
 a) x2+8x+16=0 
 b) x2-12x+36=0 
 c) 4x2+4x+1=0 
 d) 4x2-12x+9=0

Pensando em casa

95. Calcule o valor das expresses seguintes para x=6 e y=11. (Mas simplifique-as antes!)
 a) x5y5x3y7
 b) ?x5+x4y*2x4
 c) ?x2-y2*?17x-17y*
 d) ?3x+3y*?x2+2xy+y2*
 
96. Efetue os clculos seguintes: 
 a) ?56-210*?53-25*
 b) ?710-13'79*?13'78-
  -79*

<220>
<P>
97. Na expresso 1?x2-1* devemos ter x=-1 e x=1, seno teremos uma diviso impossvel. Da mesma forma, diga quais valores das variveis no so permitidos nas expresses: 
 a) ?3x+5*?x2-4*
 b) ?7x2-15x+1*?5x-2*
 c) 1?`(x+2)`(x-3)*
 d) ?3x-1*?x2-4x+4*

98. Utilize a fatorao da diferena de dois quadrados ou a fatorao do trinmio quadrado perfeito e simplifique: 
 a) ?x+4*?x2-16* 
 b) ?x2-36*?x2-12x+36* 
 c) ?4x2-1*?4x2-4x+1* 
 d) ?1-9x2*?1+6x+9x2*

99. (Saresp) Veja o que vou fazer com um nmero x: 
  1) elevar ao quadrado; 
  2) multiplicar o resultado por 5; 
<P>
  3) somar o resultado anterior com o prprio nmero x multiplicado por 10; 
  4) dividir todo o resultado anterior pelo nmero x somado com 2. 
  Feito isso, terei montado uma frao. Se eu simplificar essa frao, obterei: 
 a) x+5 
 b) 5
 c) 5x
 d) 5x+10

100. Mostre que a rea da regio _`[no destacada_`] do retngulo  11bh2.

<F->
      b
    pcccccccc
  h p         _
    p          _
    p           _ 2h
    p            _
    l            _
    l            _
    v------------#
        3b
<F+>
<P>
101. Resolva as equaes: 
 a) x6+2x3+1=0 
 b) 9x2-6x+1=0
 c) y2+18y+81=0
 d) 9x2-24x+16=0 

Desafios e surpresas

6. Vou provar que 2+3=0. 
   claro que isso s  possvel porque h um erro em minha prova. Acompanhe com muita ateno. 
  Se a=2, b=3 e c=5,  claro que a+b=c. 
  Multiplicando os dois lados da igualdade por a+b terei `(a+b`)`(a+b`)=c`(a+b`). 
  Fazendo as contas, tenho a2+2ab+b2=ac+bc. 
  Subtraio b2, ac e ab dos dois membros e fico com a2+ab-ac=
  =bc-ab-b2. 
  Coloco em evidncia *a* no primeiro membro e *-b* no segundo membro: a`(a+b-c`)=-b`(-c+a+b`). 
  A expresso dentro dos parnteses  a mesma nos dois membros. Por isso, divido ambos por ela, obtendo: a=-b. 
  Donde concluo que a+b=0 e como a=2 e b=3, ento, 2+3=0. 
  Muito bem, onde est o erro nesses clculos algbricos? 
<R->

               oooooooooooo
<221>
<P>
Captulo 9 -- Reunindo 
  geometria e lgebra

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como algumas de suas atividades so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao seu professor_`]
<R->

<222>
1- Desenhando uma equao 

Para relembrar 

  Voc sabe como representar geometricamente pares ordenados de nmeros? 
  Usa-se uma ideia que voc talvez conhea sobre localizao de pontos no plano. Foi uma criao de Ren Descartes (1596-1650), grande filsofo e matemtico francs. 
<P>
  So colocados dois eixos ou retas numeradas com os nmeros reais em um plano, da forma que se v na ilustrao. O plano com os eixos  chamado de plano cartesiano em homenagem a Descartes, cujo nome em latim era Cartesius. 
<R+>
  O ponto A representa o par (3, 2). 
  Marca-se A assim: 
  ande de zero at 3 no eixo *x*; 
  suba at a altura correspondente a 2 no eixo *y*. 
  O ponto B representa o par `(-1, -2,5). 
  Marca-se B assim: 
  ande de zero at -1 no eixo *x*; 
  desa at a altura correspondente a -2,5 no eixo *y*. 
<R->
<P>

<F->
           y
           l
         3l
           l
         2r,,,,,,,,,,,,,,,
           l              ,
         1l              ,
-2  -1   l              ,
:w::::r::::r::::w::::w::::w:> x
      ,    l    1   2   3
      ,    l-1
      ,    l
      ,    l-2
      ,,,,,r
           l-3
           l
<F+>

Representao da equao de 1 
  grau com variveis x, y 

  A ideia de Descartes, que parece simples, tem efeitos surpreendentes. Ela permite, por exemplo, criar uma imagem geomtrica de equaes do tipo 
<P>
2x+y=10.  como se desenhssemos a equao. 
  Essa equao tem muitas solues. Por exemplo: 
 se x=3, y=4; 
 se x=1, y=8; 
 se x=, y=9; 
 se x=-1, y=12 etc. 
<223>
  Pois bem, representando por pontos esses infinitos pares ordenados, vamos perceber que os pontos formam uma reta. Esse  o retrato geomtrico da equao! 

<R+>
_`[{uma mulher diz: "Este  o grfico da equao 2x+y=10. Comprove: se x=3, voc ter y=..."_`]

_`[{grfico no adaptado_`]
<R->
 
  E h mais um detalhe, que facilita construir a reta de uma equao. 
  Sabendo que equaes de 1 grau em duas variveis produzem retas, voc pode determinar a reta representando apenas dois de seus pontos, porque dois pontos definem uma nica reta. 
  Por exemplo, no caso da reta 2x+y=10, basta voc usar os pares ordenados (3, 4) e (1, 8) para desenhar a reta inteira. 
  A reta correspondente a 2x+y=10 pode ser chamada de grfico dessa equao. Tambm dizemos que essa reta tem equao 2x+y=10. 

<R+>
_`[{um homem diz: "Sabendo que o grfico  uma reta, bastam dois pontos para determin-lo."_`]

_`[{grfico no adaptado_`]

<224> 
Atividades 

_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

1. Informe quais so os pares ordenados representados pelos pontos A, B, C e D. (Ou, em outras palavras, informe quais so as coordenadas dos pontos A, B, C e D.) 

_`[{grfico no adaptado_`]

2. Abaixo temos o grfico _`[no adaptado_`] correspondente  equao 2x+5y=6. Examine-o e responda s questes. 
 a) Qual  o par ordenado correspondente ao ponto A? 
 b) Olhando o grfico voc descobre as coordenadas do ponto em que a reta corta o eixo *x*. Quais as coordenadas desse ponto?
 c) Simplesmente olhando o grfico, no  fcil saber exatamente quais so as coordenadas do ponto em que a reta corta o eixo *y*. Mas voc pode descobrir essas coordenadas se perceber que nesse ponto x=0. Quais so as coordenadas?

3. Escreva todas as solues da equao x+y=5, nas quais *x* e *y* so nmeros naturais.
<P>
4. Nesta tabela, apresentamos trs solues da equao x+y=4. 

<F->
!::::::::
l x  _ y  _
r::::w::::w
l 0 _ 4 _
r::::w::::w
l 1 _ 3 _
r::::w::::w
l 2 _ 2 _
h::::j::::j
<F+>

a) Encontre agora as solues em que *x* vale -3, -2 e -1. 
 b) Marque no plano cartesiano os pontos que correspondem a esses seis pares ordenados. 
 c) Construa o grfico da equao x+y=4.

_`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

5. Construa o grfico da equao x-y=0.

6. Considere a reta determinada pelos pontos A e B. 

_`[{grfico no adaptado_`]

a) Informe as coordenadas dos pontos assinalados. 
 b) A reta _`[no representada_`] tem sua equao correspondente, que  uma destas trs: 
   x=3 
   y=3 
   x+y=3 
  Qual  a equao correta? 

<225>
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 7 a 13, pea orientao ao professor_`]
 
7. Abaixo voc v o grfico 
  _`[no adaptado_`] de certa equao. D as coordenadas dos pontos A, B, C e D. 
<P>
8. Estas questes se referem  reta _`[no representada_`] na questo 7. 
 a) Uma destas equaes corresponde  reta: 
   -x+y=3 
   x+2y=-3 
  Qual delas  a equao da reta? 
 b) Conhecendo a equao da reta, descubra o valor da varivel y quando x=2,3.

9. Determine as coordenadas dos vrtices do paralelogramo da figura _`[no adaptada_`].
 10. Escreva todas as solues da equao 2x-y=2, nas quais x e y so nmeros naturais e x  menor do que 8.
 11. Construa o grfico da equao y=3x.
 12. O ponto das coordenadas (150; -294) pertence ao grfico da equao 2x+y=6? 
  Explique sua resposta. 
  Ateno: no  preciso construir o grfico para responder.

13. Resolva, em seu caderno, os itens seguintes: 
 a) Construa o grfico da equao x+y=2. 
 b) No mesmo sistema de eixos cartesianos, construa o grfico da equao x-y=-4. 
 c) Os dois grficos tm um ponto em comum. Qual  o par ordenado correspondente a esse ponto? 

_`[{um homem diz: "O ramo da matemtica que relaciona lgebra e geometria  conhecido como $"geometria analtica$". Os estudos iniciais da geometria analtica ocorreram no sculo XVII e devem-se ao filsofo e matemtico francs Ren 
  Descartes, inventor das coordenadas cartesianas."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<226> 
<P>
2- Resoluo grfica de sistemas
  de equaes 

  A ideia de Descartes de reunir geometria e lgebra faz com que pares ordenados se tornem pontos e que equaes de 1 grau se tornem retas ou vice-versa. 
  Essa ideia tem inmeros desenvolvimentos e aplicaes, no dia a dia e na Matemtica. Entretanto, como voc est comeando a explorar a ideia, vamos aproveit-la apenas para resolver sistemas de equaes graficamente. Os sistemas no ficam mais fceis de resolver, mas voc vai entend-los muito melhor! 

Resoluo grfica 

  Considere o sistema x+2y=2 e x+y=3. 
  Algumas solues da primeira equao so (0, 1), (2, 0), (4, -1) etc. 
  Algumas solues da segunda equao so (0, 3), (1, 2), (3, 0), (4, -1) etc. 
  Agora, voc consegue descobrir uma soluo desse sistema? 
  O par ordenado (4, -1)  uma soluo do sistema porque  soluo comum das duas equaes. 
  Ser que h outra soluo alm de (4, -1)? 
  Vamos resolver o mesmo sistema usando os grficos das equaes. Esses grficos so retas. Por isso, podemos constru-los a partir de dois pares ordenados.

<F->
!::::::::::
l x+2y=2 _
r:::::::::w
l x  _  y  _
r::::w:::::w
l 0 _  1 _
r::::w:::::w
l 2 _  0 _
h::::j:::::j
<P>

!::::::::::
l  x+y=3  _
r:::::::::w
l x  _  y  _
r::::w:::::w
l 0 _  3 _
r::::w:::::w
l 3 _  0 _
h::::j:::::j
<F+>

_`[{grfico no adaptado_`]

  As retas obtidas tm um nico ponto em comum.  o ponto de coordenadas 4 e -1. Portanto, (4, -1)  a nica soluo do sistema. 
  S=~l(4, -1)_, 

Sistemas impossveis 

  Considere o sistema 2x+3y=3 e 4x+6y=12. 
  Para resolv-lo, vamos usar o mtodo da adio, que voc j conhece. 
<227>
  Multiplicando os dois membros da primeira equao por -2, aparece o termo -4x. A, somando as duas equaes, os termos em x se anulam. Veja: 2x+3y=3 e 4x+6y=12

<R+>
_`[{multiplicando a 1 equao por -2_`]
  -4x-6y=-6

_`[{somando as duas equaes_`]
  0x+0y=6
<R->

  Mesmo sem querer, anulamos os termos em x e y e a equao obtida no tem soluo. Quaisquer que sejam os valores de x e y, se forem multiplicados por zero e somados, nunca vo dar 5. Portanto, o sistema  impossvel e escrevemos: S=_j.
  Voc pode imaginar como seriam os grficos dessas duas equaes? Veja abaixo. 
  Lgico, no ? Como o sistema no tem soluo, as retas no tm 
<P>
ponto comum. Por isso, tm de ser paralelas. 

_`[{grfico no adaptado_`]

Sistemas indeterminados 

  Vamos analisar agora uma situao bastante interessante: considere o sistema: 2x+3y=3 e 6x+9y=9. 
  Vamos usar o mtodo da adio:
 2x+3y=3 e 6x+9y=9.

_`[{multiplicando a 1 equao 
  por -3_`]
  -6x-9y=-9

_`[{somando as duas equaes_`]
  0x+0y=0

  Surpresa! Qualquer valor de x e de y satisfaz essa equao. 
  Qual ser o conjunto soluo do sistema?
<P>
  Antes de darmos a resposta, observe os grficos das equaes 2x+3y=3 e 6x+9y=9.

<F->
!::::::::::::
l 2x+3y=3 _
r:::::::::::w
l x   _  y   _
r:::::w::::::w
l 0  _  1  _
r:::::w::::::w
l 1,5_  0  _
h:::::j::::::j

!::::::::::::
l 6x+9y=9 _
r:::::::::::w
l x   _  y   _
r:::::w::::::w
l 1,5_  0  _
r:::::w::::::w
l-1,5_  2  _
h:::::j::::::j
<F+>

_`[{grfico no adaptado_`]

<228> 
  As retas so coincidentes. Isso mostra que as duas equaes do sistema so equivalentes. Veja que a segunda equao  igual  primeira, multiplicada por 3. 
  Esse sistema tem infinitas solues. Todo par ordenado que  soluo da primeira equao tambm  soluo da segunda. Dizemos que o sistema  indeterminado porque no se pode determinar uma soluo nica. 
  Podemos escrever o conjunto soluo assim: S=~l`(x, y`),2x+3y=
 =3, com x,R e y,R_,. 
  Traduzindo essa sentena com smbolos matemticos para o portugus, temos: 
  S  o conjunto dos pares ordenados `(x, y`) tais que 2x+3y=3, sendo x e y nmeros reais.

Atividades 

<R+>
14. Considere o sistema x-y=-4 e x+y=2. 
 a) Num mesmo sistema de eixos, construa o grfico de cada uma de suas equaes. 
 b) Observando os grficos, d o conjunto soluo do sistema.

15. Use o mtodo da adio para resolver o sistema 3x-2y=6 e 9x-6y=14 e depois responda: 
 a) O sistema  impossvel?  indeterminado? 
 b) Qual  o conjunto soluo do sistema?

16. Considere o sistema de equaes 5x-3y=-6 e 25x-15y=
  =-30 e os pares ordenados 
  (0, 2), (1, 3), (3, 7), (6, 12), (9, 7). 
 a) Trs desses pares ordenados so soluo do sistema. Quais so esses pares? 
 b) Esse sistema  impossvel ou indeterminado?

17. Observe os grficos _`[no adaptados_`] das equaes 2x-y=4 e 2x-y=0. 
<P>
  Agora, escreva o conjunto soluo do sistema.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
Pensando em casa 

18. Considere o sistema y=-x e y=-x+2. 
 a) Num mesmo sistema de eixos, construa o grfico de cada uma de suas equaes. 
 b) Observando os grficos, d o conjunto soluo do sistema.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

19. Use o mtodo da adio para resolver o sistema x+3y=5 e -2x-6y=3 e depois diga se ele  impossvel ou indeterminado. 
<P>
20. Considere o sistema 3x4-?y-3*2=?5y+9*4 e ?2x+3*2-?2x+1*2=
  =?9-5y*6.
  Para resolv-lo,  preciso simplificar cada equao. A primeira fica assim: 
  3x4-?y-3*2=?5y+9*4   
  ?3x-2`(y-3`)*4=?5y+9*4  
  3x-2y+6=5y+9 
  3x-7y=3 
 a) Baseado no exemplo, simplifique a segunda equao. 
 b) Resolva o sistema e d o conjunto soluo.

21. D o conjunto soluo de `(x+2y`)-?4`(2x-y`)*3=1 e x-2y=2.

22. Descubra quantas solues tem o sistema.
 a) 4x-11y=-5 e -16x+44y=20
 b) 3x+y3=4 e 9x+y=10
<P>
23. Fazendo o grfico de cada equao dos sistemas do exerccio anterior, devemos obter retas concorrentes, paralelas ou coincidentes? 
 a) No sistema do item a. 
 b) No sistema do item b.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<229>
Desafios e surpresas 

1. Considere no plano cartesiano o tringulo de vrtices `(-1, 1), (1, 3) e (9, 1). 
  Qual  a rea desse tringulo? 
 2. Obtenha a rea do tringulo representado na ilustrao _`[no adaptada_`]. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
<230>
<P>
Ao sobre grficos 

Tomando decises em empresas 

  Forme grupo com colegas de acordo com as instrues do professor. 
  Voc e seu grupo so especialistas que ajudam empresas a tomar decises. Caso voc no saiba, essas decises se baseiam em informaes sobre o mercado e os custos de produo.  necessrio tambm usar certos instrumentos matemticos. 
  O grupo foi contratado pela empresa X para analisar a produo de certo brinquedo. 
<R+>
  O custo C de produo  R$200.000,00 de investimento inicial mais R$20,00 por unidade produzida. Se a empresa produzir *x* brinquedos, C=200.000+20x. 
  Cada brinquedo ser vendido por R$40,00. Se a empresa vender x brinquedos, ela receber em reais o valor R=40x.
<R->
<231>
  Nessa situao, recomendamos que vocs: 
<R+>
  construam o grfico de C=200.000+20x; 
  construam, nos mesmos eixos, o grfico de R=40x; 
  observem o ponto de interseco dos dois grficos; a partir dele, o recebimento R  maior que o custo, ou seja, a empresa ter lucro. 
<R->
  Agora, faam um relatrio para o presidente da empresa X: 
<R+>
 a) mostrem os grficos; 
 b) informem (e justifiquem) quantos brinquedos devero ser produzidos e vendidos para no haver prejuzo; 
 c) apontem qual ser o lucro se forem produzidos e vendidos 10.000 e 20.000 brinquedos. 
<R->
  Com essas informaes, o presidente decidir se produz ou no os brinquedos. Ele poder no os produzir se achar impossvel vender o nmero adequado de brinquedos... 
  Para construir o grfico, veja a sugesto a seguir. 

<F->
 milhares de reais
     l
800 r
     l
600 r
     l
400 r
     l
200 r 
     l
     h::::r:::r:::r:: milhares de
         10 20 30  unidades
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte